設(shè)函數(shù)T(x)=
2x,  0≤x<
1
2
2(1-x),  
1
2
≤x≤1

(1)求函數(shù)y=T(x2)和y=(T(x))2的解析式;
(2)是否存在實數(shù)a,使得T(x)+a2=T(x+a)恒成立,若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由;
(3)定義Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①當x∈[ 0 ,
1
16
 ]
時,求y=T4(x)的解析式;
已知下面正確的命題:當x∈[ 
i-1
16
 ,
i+1
16
 ]
時(i∈N*,1≤i≤15),都有T4(x)=T4(
i
8
-x)
恒成立.
②若方程T4(x)=kx恰有15個不同的實數(shù)根,確定k的取值;并求這15個不同的實數(shù)根的和.
(1)函數(shù)y=T(x2)=
2x2x∈ (-
2
2
, 
2
2
2(1-x2)x∈[-1 , -
2
2
]∪[
2
2
 , 1]

函數(shù)y=(T(x))2=
4x2x∈[0 , 
1
2
)
4(1-x)2x∈[
1
2
 , 1]
…4分
(2)T(x)+a2=
2x+a2,    0≤x<
1
2
2(1-x)+a2, 
1
2
≤x≤1

T(x+a)=
2x+2a,0≤x+a<
1
2
2(1-x-a),  
1
2
≤x+a≤1
…6分
則當且僅當a2=2a且a2=-2a時,即a=0.
綜上可知當a=0時,有T(x)+a2=T(x+a)=T(x)恒成立.…8分
(3)①當x∈[ 0 ,
1
16
 ]
時,對于任意的正整數(shù)j∈N*,1≤j≤3,
都有0≤2jx≤
1
2
,故有 y=T4(x)=T3(2x)=T2(22x)=T1(23x)=16x.…13分
②由①可知當x∈[ 0 ,
1
16
 ]
時,有T4(x)=16x,根據(jù)命題的結(jié)論可得,
x∈[ 
1
16
,
2
16
 ] ⊆[ 
0
16
2
16
 ]
時,
1
8
-x∈[ 
0
16
1
16
 ] ⊆[ 
0
16
,
2
16
 ]
,
故有T4(x)=T4(
1
8
-x)=16(
1
8
-x)=-16x+2
,
因此同理歸納得到,當x∈[ 
i
16
 ,
i+1
16
 ]
(i∈N,0≤i≤15)時,T4(x)=(-1)i(24x-i-
1
2
)+
1
2
=
24x-i, i 是偶數(shù)
-24x+i+1,i 是奇數(shù)
…15分
x∈[ 
i
16
 ,
i+1
16
 ]
時,解方程T4(x)=kx得,x=
(2i+1)-(-1)i
32-(-1)i2k

要使方程T4(x)=kx在x∈[0,1]上恰有15個不同的實數(shù)根,
則必須
(2•14+1)-(-1)14
32-(-1)142k
=
(2•15+1)-(-1)15
32-(-1)152k
解得k=
16
15

方程的根xn=
(2n-1)+(-1)n
32+(-1)n2k
(n∈N*,1≤n≤15)…17分
這15個不同的實數(shù)根的和為:S=x1+x2+…+x14+x15=
0+2+4+6+8+10+12+14
16-
16
15
+
2+4+6+8+10+12+14
16+
16
15
=
225
32
.…18分.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+3
3x
(x>0)
,數(shù)列{an}滿足a1=1,an=f(
1
an-1
)(n∈N*,且n≥2)

(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(II)設(shè)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+(-1)n-1anan+1,若Tn≥tn2對n∈N*恒成立,求實數(shù)t的取值范圍;
(III)在數(shù)列{an}中是否存在這樣一些項:an1an2,an3,…,ank,…(1=n1n2n3<…<nk<…,k∈N*),這些項能夠構(gòu)成以a1為首項,q(0<q<5,q∈N*)為公比的等比數(shù)列{ank},k∈N*.若存在,寫出nk關(guān)于k的表達式;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=2x+
a
2x
-1
(a為實數(shù)).
(Ⅰ)當a=0時,求方程|f(x)|=
1
2
的根;
(Ⅱ)當a=-1時,
(。┤魧τ谌我鈚∈(1,4],不等式f(t2-2t)-f(2t2-k)>0恒成立,求k的范圍;
(ⅱ)設(shè)函數(shù)g(x)=2x+b,若對任意的x1∈[0,1],總存在著x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2),求實數(shù)b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•浦東新區(qū)一模)設(shè)函數(shù)T(x)=
2x,  0≤x<
1
2
2(1-x),  
1
2
≤x≤1

(1)求函數(shù)y=T(sin(
π
2
x))和y=sin(
π
2
T(x))的解析式;
(2)是否存在非負實數(shù)a,使得aT(x)=T(ax)恒成立,若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;
(3)定義Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①當x∈[0,
1
2n
]時,求y=Tn(x)的解析式;
已知下面正確的命題:當x∈[
i-1
2n
i+1
2n
](i∈N*,1≤i≤2n-1)時,都有Tn(x)=Tn
i
2n-1
-x)恒成立.
②對于給定的正整數(shù)m,若方程Tm(x)=kx恰有2m個不同的實數(shù)根,確定k的取值范圍;若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{xn}(1≤n≤2m),求數(shù)列{xn}所有2m項的和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•浦東新區(qū)一模)設(shè)函數(shù)T(x)=
2x,  0≤x<
1
2
2(1-x),  
1
2
≤x≤1

(1)求函數(shù)y=T(x2)和y=(T(x))2的解析式;
(2)是否存在實數(shù)a,使得T(x)+a2=T(x+a)恒成立,若存在,求出a的值,若不存在,請說明理由;
(3)定義Tn+1(x)=Tn(T(x)),且T1(x)=T(x),(n∈N*
①當x∈[ 0 ,
1
16
 ]
時,求y=T4(x)的解析式;
已知下面正確的命題:當x∈[ 
i-1
16
 ,
i+1
16
 ]
時(i∈N*,1≤i≤15),都有T4(x)=T4(
i
8
-x)
恒成立.
②若方程T4(x)=kx恰有15個不同的實數(shù)根,確定k的取值;并求這15個不同的實數(shù)根的和.

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