設(shè)函數(shù)T(x)=
2x，  0≤x＜
1
2
2(1-x)，  
1
2
≤x≤1

（1）求函數(shù)y=T（x2）和y=（T（x））2的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得T（x）+a2=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）定義Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
①當(dāng)x∈[ 0 ，
1
16
 ]時(shí)，求y=T4（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當(dāng)x∈[ 
i-1
16
 ，
i+1
16
 ]時(shí)（i∈N*，1≤i≤15），都有T4(x)=T4(
i
8
-x)恒成立．
②若方程T4（x）=kx恰有15個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定k的取值；并求這15個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的和．
（1）函數(shù)y=T(x2)=
2x2x∈ (-
2
2
， 
2
2
) 
2(1-x2)x∈[-1 ， -
2
2
]∪[
2
2
 ， 1]

函數(shù)y=(T(x))2=
4x2x∈[0 ， 
1
2
)
4(1-x)2x∈[
1
2
 ， 1]
…4分
（2）T(x)+a2=
2x+a2，    0≤x＜
1
2
2(1-x)+a2， 
1
2
≤x≤1
，
T(x+a)=
2x+2a，0≤x+a＜
1
2
2(1-x-a)，  
1
2
≤x+a≤1
…6分
則當(dāng)且僅當(dāng)a2=2a且a2=-2a時(shí)，即a=0．
綜上可知當(dāng)a=0時(shí)，有T（x）+a2=T（x+a）=T（x）恒成立．…8分
（3）①當(dāng)x∈[ 0 ，
1
16
 ]時(shí)，對(duì)于任意的正整數(shù)j∈N*，1≤j≤3，
都有0≤2jx≤
1
2
，故有 y=T4(x)=T3(2x)=T2(22x)=T1(23x)=16x．…13分
②由①可知當(dāng)x∈[ 0 ，
1
16
 ]時(shí)，有T4（x）=16x，根據(jù)命題的結(jié)論可得，
當(dāng)x∈[ 
1
16
，
2
16
 ] ⊆[ 
0
16
，
2
16
 ]時(shí)，
1
8
-x∈[ 
0
16
，
1
16
 ] ⊆[ 
0
16
，
2
16
 ]，
故有T4(x)=T4(
1
8
-x)=16(
1
8
-x)=-16x+2，
因此同理歸納得到，當(dāng)x∈[ 
i
16
 ，
i+1
16
 ]（i∈N，0≤i≤15）時(shí)，T4(x)=(-1)i(24x-i-
1
2
)+
1
2
=
24x-i， i 是偶數(shù)
-24x+i+1，i 是奇數(shù)
…15分
x∈[ 
i
16
 ，
i+1
16
 ]時(shí)，解方程T4（x）=kx得，x=
(2i+1)-(-1)i
32-(-1)i2k

要使方程T4（x）=kx在x∈[0，1]上恰有15個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
則必須
(2•14+1)-(-1)14
32-(-1)142k
=
(2•15+1)-(-1)15
32-(-1)152k
解得k=
16
15

方程的根xn=
(2n-1)+(-1)n
32+(-1)n2k
（n∈N*，1≤n≤15）…17分
這15個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的和為：S=x1+x2+…+x14+x15=
0+2+4+6+8+10+12+14
16-
16
15
+
2+4+6+8+10+12+14
16+
16
15
=
225
32
．…18分．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=
2x+3
3x
(x＞0)，數(shù)列{an}滿足a1=1，an=f(
1
an-1
)(n∈N*，且n≥2)．
（I）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…+（-1）n-1anan+1，若Tn≥tn2對(duì)n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（III）在數(shù)列{an}中是否存在這樣一些項(xiàng)：an1，an2，an3，…，ank，…(1=n1＜n2＜n3＜…＜nk＜…，k∈N*)，這些項(xiàng)能夠構(gòu)成以a1為首項(xiàng)，q（0＜q＜5，q∈N*）為公比的等比數(shù)列{ank}，k∈N*．若存在，寫出nk關(guān)于k的表達(dá)式；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f(x)=2x+
a
2x
-1（a為實(shí)數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求方程|f(x)|=
1
2
的根；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時(shí)，
（ⅰ）若對(duì)于任意t∈（1，4]，不等式f（t2-2t）-f（2t2-k）＞0恒成立，求k的范圍；
（ⅱ）設(shè)函數(shù)g（x）=2x+b，若對(duì)任意的x1∈[0，1]，總存在著x2∈[0，1]，使得f（x1）=g（x2），求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)一模）設(shè)函數(shù)T(x)=
2x，  0≤x＜
1
2
2(1-x)，  
1
2
≤x≤1

（1）求函數(shù)y=T（sin（
π
2
x））和y=sin（
π
2
T（x））的解析式；
（2）是否存在非負(fù)實(shí)數(shù)a，使得aT（x）=T（ax）恒成立，若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）定義Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
①當(dāng)x∈[0，
1
2n
]時(shí)，求y=Tn（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當(dāng)x∈[
i-1
2n
，
i+1
2n
]（i∈N*，1≤i≤2n-1）時(shí)，都有Tn（x）=Tn（
i
2n-1
-x）恒成立．
②對(duì)于給定的正整數(shù)m，若方程Tm（x）=kx恰有2m個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定k的取值范圍；若將這些根從小到大排列組成數(shù)列{xn}（1≤n≤2m），求數(shù)列{xn}所有2m項(xiàng)的和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浦東新區(qū)一模）設(shè)函數(shù)T(x)=
2x，  0≤x＜
1
2
2(1-x)，  
1
2
≤x≤1

（1）求函數(shù)y=T（x2）和y=（T（x））2的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得T（x）+a2=T（x+a）恒成立，若存在，求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）定義Tn+1（x）=Tn（T（x）），且T1（x）=T（x），（n∈N*）
①當(dāng)x∈[ 0 ，
1
16
 ]時(shí)，求y=T4（x）的解析式；
已知下面正確的命題：當(dāng)x∈[ 
i-1
16
 ，
i+1
16
 ]時(shí)（i∈N*，1≤i≤15），都有T4(x)=T4(
i
8
-x)恒成立．
②若方程T4（x）=kx恰有15個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，確定k的取值；并求這15個(gè)不同的實(shí)數(shù)根的和．

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