Question

已知雙曲線(xiàn)的焦距為4，以原點(diǎn)為圓心，實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑的圓和直線(xiàn)相切．
（Ⅰ） 求雙曲線(xiàn)E的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)F為雙曲線(xiàn)E的左焦點(diǎn)，試問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M任意作一條直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)E于P，Q兩點(diǎn)，使為定值？若存在，求出此定值和所有的定點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求得a，再根據(jù)焦距，求得b．
（II）假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，先在直線(xiàn)垂直于y軸時(shí)，求得定值，再結(jié)合韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系，分析驗(yàn)證直線(xiàn)不垂直于y軸時(shí)，求得此定值的情況，從而得出結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）原點(diǎn)到直線(xiàn) x-y+=0的距離d==，
∴，∴b=1，
∴雙曲線(xiàn)E的方程為；         
（Ⅱ）解法一：假設(shè)存在點(diǎn)M（m，0）滿(mǎn)足條件，
①當(dāng)直線(xiàn)l方程為y=0時(shí)，則，∴；
②當(dāng)直線(xiàn)l方程不是y=0時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)l：x=ty+m，代入
整理得，*
由△＞0得m²+t²＞9，
設(shè)方程*的兩個(gè)根為y₁，y₂，滿(mǎn)足，∴=，
當(dāng)且僅當(dāng)2m²+12m+15=3時(shí)，為定值1，
解得，
∵不滿(mǎn)足對(duì)任意t≠±，△＞0，∴不合題意，舍去．
而且滿(mǎn)足△＞0；
綜上得：過(guò)定點(diǎn)任意作一條直線(xiàn)l交雙曲線(xiàn)E于P，Q兩點(diǎn)，使為定值1．
解法二：前同解法一，得=，
由⇒2m²+12m+15=3，
解得，下同解法一．
解法三：當(dāng)直線(xiàn)l不垂直x軸時(shí)，設(shè)，代入
整理得，*
由△＞0得m²k²-3k²+1＞0，
設(shè)方程*的兩個(gè)根為x₁，x₂，滿(mǎn)足，
∴=，
當(dāng)且僅當(dāng)2m²+12m+15=3時(shí)，為定值1，
解得，
∵不滿(mǎn)足對(duì)任意K≠±，△＞0，∴不合題意，舍去，
而且滿(mǎn)足△＞0；   
當(dāng)直線(xiàn)l⊥x軸時(shí)，代入得，
∴；…（9分）
綜上得：（結(jié)論同解法一）
點(diǎn)評(píng)：本題借助存在性問(wèn)題考查圓錐曲線(xiàn)中的定值問(wèn)題．本題的解答是解決存在性問(wèn)題的一般思路，巧妙的利用韋達(dá)定理根與系數(shù)的關(guān)系分析求解是關(guān)鍵．
另：第（II）題有一般性結(jié)論