Question

用長(zhǎng)為18cm的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2：1，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高各為

 

時(shí)，其體積最大．

Answer 1

分析：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，高為（

18-8x-4x

4

）cm；它的體積為V=2x•x•（

9

2

-3x）=9x²-6x³；對(duì)V求導(dǎo)，并令V′（x）=0，得x=1時(shí)，函數(shù)V有最大值，求出此時(shí)長(zhǎng)，寬，高即可．

解答：解：設(shè)長(zhǎng)方體的寬為xcm，則長(zhǎng)為2xcm，高為（

18-8x-4x

4

）cm；
它的體積為V=2x•x•（

9

2

-3x）=9x²-6x³，（其中0＜x＜

3

2

）；
對(duì)V求導(dǎo)，并令V′（x）=0，得18x-18x²=0，解得x=0，或x=1；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)V（x）單調(diào)遞增，當(dāng)1＜x＜

3

2

時(shí)，函數(shù)V（x）單調(diào)遞減；
所以，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)V（x）有最大值，此時(shí)長(zhǎng)為2cm，寬為1cm，高為1.5cm．
故答案為：2cm，1cm，1.5cm．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了長(zhǎng)方體模型的應(yīng)用，本題中利用長(zhǎng)方體的體積公式建立三次函數(shù)解析式，再利用求導(dǎo)法求得函數(shù)的最值，是中檔題．