(本題滿分18分)第一題滿分4分,第二題滿分6分,第三題滿分8分.
已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是焦距的兩倍,其左、右焦點(diǎn)依次為、,拋物線的準(zhǔn)線與軸交于,橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)當(dāng)時(shí),求橢圓的方程;
(2)在(1)的條件下,直線過(guò)焦點(diǎn),與拋物線交于兩點(diǎn),若弦長(zhǎng)等于的周長(zhǎng),求直線的方程;
(3)由拋物線弧和橢圓弧
()合成的曲線叫“拋橢圓”,是否存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形,若存在,求出兩直角邊所在直線的斜率;若不存在,說(shuō)明理由.
解:(1)設(shè)橢圓的實(shí)半軸長(zhǎng)為a,短半軸長(zhǎng)為b,半焦距為c,
當(dāng)=1時(shí),由題意得,a=2c=2,,
所以橢圓的方程為.(4分)
(2)依題意知直線的斜率存在,設(shè),由得,,由直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),可知.設(shè),由韋達(dá)定理得,則(6分)又的周長(zhǎng)為,所以, (8分)
解得,從而可得直線的方程為 (10分)
(3)由題意得,“拋橢圓”由拋物線弧和橢圓弧合成,且、。
假設(shè)存在為等腰直角三角形,由所在曲線的位置做如下3種情況討論:
①當(dāng)同時(shí)在拋物線弧上時(shí),由、的斜率分別為,比為鈍角,顯然與題設(shè)矛盾. 此時(shí)不存在 (12分)
② 當(dāng)同時(shí)在橢圓弧上時(shí),由橢圓與等腰直角三角形的對(duì)稱性知,則兩直角邊關(guān)于x軸對(duì)稱.即直線的斜率為1,直線的斜率為,
得符合題意;此時(shí)存在(15分)
③ 不妨設(shè)當(dāng)在拋物線弧上,在橢圓弧上時(shí),
于是設(shè)直線的方程為(其中),將其代入得;由,直線的方程為,同理代入橢圓弧方程得,
由得,解得與矛盾,此時(shí)不存在。
因此,存在以原點(diǎn)為直角頂點(diǎn),另兩個(gè)頂點(diǎn)落在“拋橢圓”上的等腰直角三角形,兩直角邊所在直線的斜率分別為1和.(18分)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
在平行四邊形中,已知過(guò)點(diǎn)的直線與線段分別相交于點(diǎn)。若。
(1)求證:與的關(guān)系為;
(2)設(shè),定義函數(shù),點(diǎn)列在函數(shù)的圖像上,且數(shù)列是以首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,為原點(diǎn),令,是否存在點(diǎn),使得?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。
(3)設(shè)函數(shù)為上偶函數(shù),當(dāng)時(shí),又函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱, 當(dāng)方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí),求實(shí)數(shù)的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012屆上海市崇明中學(xué)高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),使得對(duì)任意的()都有成立,那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列,的最小值稱作數(shù)列的最小正周期,以下簡(jiǎn)稱周期。例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列,當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列。
(1)設(shè)數(shù)列滿足(),(不同時(shí)為0),且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列,求常數(shù)的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
①若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
②若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)數(shù)列滿足(),,,,數(shù)列的前項(xiàng)和為,試問(wèn)是否存在,使對(duì)任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在, 說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市高三第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分,第(1)小題4分,第(2)小題6分,第(3)小題8分)
對(duì)于數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),使得對(duì)任意的()都有成立,那么就把這樣一類數(shù)列稱作周期為的周期數(shù)列,的最小值稱作數(shù)列的最小正周期,以下簡(jiǎn)稱周期。例如當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列,當(dāng)時(shí)是周期為的周期數(shù)列。
(1)設(shè)數(shù)列滿足(),(不同時(shí)為0),且數(shù)列是周期為的周期數(shù)列,求常數(shù)的值;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.
①若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
②若,試判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列,并說(shuō)明理由;
(3)設(shè)數(shù)列滿足(),,,,數(shù)列 的前項(xiàng)和為,試問(wèn)是否存在,使對(duì)任意的都有成立,若存在,求出的取值范圍;不存在, 說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年上海市十三校高三上學(xué)期第一次聯(lián)考試題文科數(shù)學(xué) 題型:解答題
(本題滿分18分,第1小題滿分5分,第2小題滿分5分,第3小題滿分8分)
已知函數(shù),其中.
(1)當(dāng)時(shí),設(shè),,求的解析式及定義域;
(2)當(dāng),時(shí),求的最小值;
(3)設(shè),當(dāng)時(shí),對(duì)任意恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2010年上海市徐匯區(qū)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)卷(文) 題型:解答題
(本題滿分18分;第(1)小題5分,第(2)小題5分,第(3)小題8分)
設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列,且公差為,若數(shù)列中任意(不同)兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng),則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.
(1)若,求證:該數(shù)列是“封閉數(shù)列”;
(2)試判斷數(shù)列是否是“封閉數(shù)列”,為什么?
(3)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,若公差,試問(wèn):是否存在這樣的“封閉數(shù)列”,使;若存在,求的通項(xiàng)公式,若不存在,說(shuō)明理由.
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