Question

設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x+2）=-f（x），當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=2x-x²．
（1）求證：f（x）是周期函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[2，4]時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）計(jì)算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2011）=0．

Answer 1

（1）證明∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x）．
∴f（x）是周期為4的周期函數(shù)．
（2）解∵x∈[2，4]，∴-x∈[-4，-2]，
∴4-x∈[0，2]，
∴f（4-x）=2（4-x）-（4-x）²=-x²+6x-8，
又f（4-x）=f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-x²+6x-8，
即f（x）=x²-6x+8，x∈[2，4]．
（3）解∵f（0）=0，f（2）=0，f（1）=1，f（3）=-1．
又f（x）是周期為4的周期函數(shù)，
∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=f（4）+f（5）+f（6）+f（7）
=…=f（2 008）+f（2 009）+f（2 010）+f（2 011）=0，
∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 011）=0
分析：（1）由f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），可得函數(shù)的周期性；
（2）由于x∈[2，4]，則4-x∈[0，2]，再根據(jù)周期及函數(shù)在區(qū)間[0，2]上的解析式，可求x∈[2，4]時(shí)函數(shù)解析式；
（3）根據(jù)已知可分別求解f（0），f（1），f（2），f（3）進(jìn)而根據(jù)周期可求f（0）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的周期的求解及應(yīng)用及根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解函數(shù)的解析式及函數(shù)值的求解，解題的關(guān)鍵是熟練應(yīng)用函數(shù)的基本性質(zhì)