Question

正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)等于2，E，F(xiàn)分別是B′D′，AC的中點(diǎn)．求：
（1）直線(xiàn)AB′和平面ACD′所成角的正弦值；
（2）二面角B′-CD′-A的余弦值；
（3）點(diǎn)B到平面ACD′的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACD'的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求直線(xiàn)AB′和平面ACD′所成角的正弦值；
（2）求出平面B'CD'的一個(gè)法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角B′-CD′-A的余弦值；
（3）點(diǎn)B到平面ACD'的距離d=|

BD′ • n

| n |

|=

2

3

3

．

解答： 解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
∵正方體的棱長(zhǎng)等于2，E，F(xiàn)分別是B'D'，AC的中點(diǎn)，
∴A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D'（0，0，2），B'（2，2，2），E（1，1，2），F(xiàn)（1，1，0）．
（1）

AD′

=(-2，0，2)，

AC

=(-2，2，0)，

AB′

=(0，2，2)，
設(shè)

n

=(x′，y′，z′)是平面ACD'的一個(gè)法向量，則
由

n • AD′ =0 n • AC =0

⇒

(x′，y′，z′)•(-2，0，2)=0 (x′，y′，z′)•(-2，2，0)=0

⇒

z′=x′ y′=x′

，
取x'=1，得平面ACD'的一個(gè)法向量

n

=(1，1，1)，
設(shè)直線(xiàn)AB'和平面ACD'所成角的大小為θ，則sinθ=|

n • AB′

| n |•| AB′ |

|=|

(1，1，1)•(0，2，2)

3 • 8

|=

6

3

∴直線(xiàn)AB'和平面ACD'所成角的正弦值是

6

3

（2）

D′B′

=(2，2，0)，

D′C

=(0，2，-2)，
設(shè)

m

=(x0，y0，z0)是平面B'CD'的一個(gè)法向量，則
由

m • D′B′ =0 m • D′C =0

得

x0=-y0 z0=y0

，取y₀=1得平面B'CD'的一個(gè)法向量

m

=(-1，1，1)
由cosθ=

n • m

| n |•| m |

=

(1，1，1)•(-1，1，1)

3 • 3

=

1

3

，
故二面角B'-CD'-A的余弦值是

1

3

（3）∵

BD′

=(-2，-2，2)，平面ACD'的一個(gè)法向量

n

=(1，1，1)，
∴點(diǎn)B到平面ACD'的距離d=|

BD′ • n

| n |

|=

2

3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間向量的運(yùn)用，考查線(xiàn)面角，面面角，考查點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的計(jì)算能力，難度中等．