Question

已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，AC=BC=2

2

，∠ACB=90°，AA₁=4，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AA₁的中點(diǎn)，
（1）求證A₁B⊥CE；
（2）求C₁F與側(cè)面ABB₁A₁所成角的正切值；
（3）求異面直線A₁B與C₁F所成角．

Answer 1

分析：（1）要證A₁B⊥CE，應(yīng)通過(guò)證明CE⊥側(cè)面AB₁得出．由直棱柱 的性質(zhì)易證．
（2）取A₁B₁的中點(diǎn)E₁，則C₁E₁⊥平面ABB₁A₁，連接E₁F，∠C₁FE₁為C₁F與側(cè)面ABB₁A₁所成角，在直角三角形C₁E₁F中 求解即可．
（3）容易得知EF∥A₁B，∠C₁FE是異面直線A₁B與C₁F所成角（或補(bǔ)角），解三角形C₁FE即可．

解答：解：（1）因?yàn)橹比�棱柱，所以�?cè)面AB₁⊥底面ABC
又因?yàn)榈酌妗鰽BC為等腰直角三角形，E是斜邊AB的中點(diǎn)
所以CE⊥AB，所以CE⊥側(cè)面AB₁，而A₁B?側(cè)面AB₁，所以A₁B⊥CE----（4分）
（2）取A₁B₁的中點(diǎn)E₁，則C₁E₁⊥平面ABB₁A₁，連接E₁F
∴∠C₁FE₁為C₁F與側(cè)面ABB₁A₁所成角-------------（6分）
在直角三角形C₁E₁F中，C₁E₁=

1

2

A1B1=2，E1F=2

2

，
∴tan∠C1FE1=

2

2 2

=

2

2

C₁F與側(cè)面ABB₁A₁所成角的正切值為

2

2

．-----------（8分）
（3）因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AA₁的中點(diǎn)，所以EF∥A₁B，
即∠C₁FE是異面直線A₁B與C₁F所成角（或補(bǔ)角）-----（10分）
EF=

1

2

A1B=

8

，
C1F=

A1C12+A1F2

=

8+4

=

12

C1E=

C C 2 1 +CE2

=

16+4

=

20

∴C₁E²=EF²+C₁F²，∴∠C₁FE=90°
即異面直線A₁B與C₁F成90⁰角．-------（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和直線、直線和平面垂直、平行關(guān)系的判定，直線和直線、平面所成角的計(jì)算．考查考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、計(jì)算、推理論證能力．