Question

在△ABC中，b=4，A=

π

3

，面積S=2

3

（1）求BC邊的長度；
（2）求值：

sin2( A 4 + π 4 )+cos2B

cot C 2 +tan C 2

．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）利用三角形面積公式列出關系式，將b，sinA，以及已知面積代入求出c的值，再由b，c，以及cosA的值，利用余弦定理求出a的值，再由b，sinA的值，利用正弦定理求出sinB的值，即可確定出B與C的度數(shù)，
（2）將A，B，C的度數(shù)代入原式計算即可得到結(jié)果．

解答： 解：（1）在△ABC中，b=4，A=

π

3

，面積S=2

3

，
∴S=

1

2

bcsinA，即2

3

=

1

2

×4×c×

3

2

，
解得：c=2，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=16+4-2×2×4×

1

2

=12，即a=2

3

，
∵a=2

3

，b=4，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：sinB=

bsinA

a

=

4× 3 2

2 3

=1，
∴B=

π

2

，C=

π

6

；
（2）∵A=

π

3

，B=

π

2

，C=

π

6

，
∴原式=

sin2 π 3 +cosπ

cos C 2 sin C 2 + sin C 2 cos C 2

=（

3

4

-1）

1

2

sinC=-

1

16

．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．