Question

已知橢圓C₁的方程是

x2

4

+y2=1，雙曲線C₂的左、右焦點分別為C₁的左、右頂點，C₂的左、右頂點分別為C₁的左、右焦點．
（1）求雙曲線C₂的方程；
（2）若直線l：y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A，B，且

OA

•

OB

＞2（O為原點），求k的取值范圍；
（3）設P₁，P₂分別是C₂的兩條漸近線上的點，點M在C₂上，且

OM

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，求△P₁OP₂的面積．

Answer 1

分析：（1）由橢圓C₁的方程是

x2

4

+y2=1，知a=2，b=1，c=

3

，由此能求出雙曲線C₂的方程．
（2）由直線y=kx+

2

，雙曲線

x2

3

-y2=1兩個方程聯(lián)立，得（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0．由直線y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B，得k²+1＞0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

9

3k2-1

，y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=

2-3k2

1-3k2

．由

OA

•

OB

＞2，能求出k的范圍．
（3）C₂漸近線為|

3

| y=x，設P1(

3

p1，p1)， P2(-

3

p2 ，p2)，且p₂＞0，p₁＜0，P₁P₂的方程為

y-p1

x- 3 p1

=

p2-p1

- 3 p2- 3 p1

，令y=0，解得P₁P₂與x軸的交點為N（

2 3 p2p1

p2-p1

，0），由此能求出△P₁OP₂的面積．

解答：解：（1）∵橢圓C₁的方程是

x2

4

+y2=1，
∴a=2，b=1，c=

3

，
∴雙曲線C₂的方程為

x2

3

-y2=1．
（2）直線y=kx+

2

，雙曲線

x2

3

-y2=1兩個方程聯(lián)立，并化簡，得：
（1-3k²）x²-6

2

kx-9=0，
∵直線y=kx+

2

與雙曲線C₂恒有兩個不同的交點A和B
∴△=（-6

2

k）²-4×（1-3k²）×（-9）＞0
即k²＜1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則有x₁+x₂=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=

9

3k2-1

，
∴y1y2=(kx1+

2

)(kx2+

2

)=k²x₁x₂+

2

k（x₁+x₂）+2=

2-3k2

1-3k2

．
∵

OA

•

OB

＞2，
∴k＜-

3

3

或k＞

3

3

，而k²＜1
故k的范圍為：-1＜k＜-

3

3

或

3

3

＜x＜1；
（3）C₂漸近線為|

3

| y=x，設P1(

3

p1，p1)， P2(-

3

p2 ，p2)，且p₂＞0，p₁＜0，
∴P₁P₂的方程為

y-p1

x- 3 p1

=

p2-p1

- 3 p2- 3 p1

，
令y=0，解得P₁P₂與x軸的交點為N（

2 3 p2p1

p2-p1

，0），
∴S△P1OP2=p2|

2 3 p2p1

p2-p1

|-(-p1) |

2 3 p2p1

p2-p1

|
=-2

3

p2p1．
∵

OM

=

1

2

(

OP1

+

OP1

)
=[

3

2

(p1-p2)，

1

2

(p1+p2)]
∴p₁p₂=1，
∴△P₁OP₂的面積S=2

3

．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．