Question

已知命題p：關(guān)于x的不等式mx²+mx+1＞0對任意x∈R恒成立；命題q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+3x+2存在單調(diào)遞減區(qū)間；若“p∨q”為真命題，“p∧q”為假命題，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假

專題：集合

分析：先求出命題p，q下的m的取值范圍，再根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題知：p，q中一真一假，所以分p真q假，和p假q真兩種情況，分別求出兩種情況下的m取值，再求并集即可．

解答： 解：命題p：關(guān)于x的不等式mx²+mx+1＞0的解集為R，∴m=0或m＞0且△=m²-4m＜0，解得0≤m＜4；
命題q：函數(shù)f（x）=x³+mx²+3x+2存在單調(diào)遞減區(qū)間，則f′（x）=3x²+2mx+3＜0在R上有解，即
△=4m²-36＞0，解得m＞3，或m＜-3；
∵p∨q為真命題，p∧q為假命題；
∴p，q中一真一假；
∴若p真q假，則：0≤m＜4且-3≤m≤3，∴0≤m≤3，即m∈[0，3]；
若p假q真，則：m＜0或m≥4，且m＞3，或m＜-3，∴m＜-3或m≥4，即m∈（-∞，-3）∪[4，+∞）；
∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-3）∪[0，3]∪[4，+∞）．

點評：考查一元二次不等式的解和判別式△的關(guān)系，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，p∨q，p∧q的真假與p，q真假的關(guān)系．