Question

如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝AB＝2，BC＝3，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABC，D、E分別為AB、AC中點．

（Ⅰ）求證：DE∥平面PBC；

（Ⅱ）求證：AB⊥PE；

（Ⅲ）求二面角A－PB－E的大�。�

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）由D、E分別為AB、AC中點，得DE∥BC ．可得DE∥平面PBC    

（Ⅱ）連結(jié)PD，由PA=PB，得PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB，推出DE ⊥ AB．

AB⊥平面PDE，得到AB⊥PE ．

（Ⅲ）證得PD平面ABC 。

以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系。

二面角的A－PB－E的大小為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）D、E分別為AB、AC中點，\DE∥BC ．

DEË平面PBC，BCÌ平面PBC，∴DE∥平面PBC    

（Ⅱ）連結(jié)PD， PA=PB，  PD ⊥ AB． DE∥BC，BC ⊥ AB， DE ⊥ AB．又AB⊥平面PDE，PEÌ平面PDE，AB⊥PE ．                      6分

（Ⅲ）平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABC=AB，PD  AB，

 PD平面ABC．           7分

如圖，以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系

B(1,0,0)，P(0,0,)，E(0,,0) ,

 =(1,0, )， =(0, , ）．

設(shè)平面PBE的法向量，

令      得．

 DE⊥平面PAB，平面PAB的法向量為．

設(shè)二面角的A－PB－E大小為

由圖知，，，

二面角的A－PB－E的大小為．

考點：立體幾何中的平行關(guān)系、垂直關(guān)系，角的計算，空間向量的應(yīng)用。

點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，本題利用空間向量，簡化了證明及計算過程。