Question

如圖，F(xiàn)₁、F₂是雙曲線的左、右焦點，過F₁的直線l與C的左、右2個分支分別交于點A、B．若△ABF₂為等邊三角形，則雙曲線的離心率為

1. A.
   4
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：利用雙曲線的定義可得可得|AF₁|-|AF₂|=2a，|BF₂|-|BF₁|=2a，利用等邊三角形的定義可得：|AB|=|AF₂|=|BF₂|，．在△AF₁F₂中使用余弦定理可得
：=-，再利用離心率的計算公式即可得出．
解答：∵△ABF₂為等邊三角形，∴|AB|=|AF₂|=|BF₂|，．
由雙曲線的定義可得|AF₁|-|AF₂|=2a，∴|BF₁|=2a．
又|BF₂|-|BF₁|=2a，∴|BF₂|=4a．
∴|AF₂|=4a，|AF₁|=6a．
在△AF₁F₂中，由余弦定理可得：=-，
∴，化為c²=7a²，
∴=．
故選B．
點評：熟練掌握雙曲線的定義、余弦定理、離心率的計算公式是解題的關(guān)鍵．