Question

已知拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAC的周長最小時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）在直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式，解方程組求得a、b、c，即可得拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)拋物線的對稱性，PA+PC=PB+PC，當(dāng)P在直線BC上時(shí)△PAC的周長PA+PC+AC最小，求出直線BC與對稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即得P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M（1，m），△MAC為等腰三角形，分①M(fèi)A=MC；②MA=AC；③MC=AC，討論求解．

解答： 解：（1）將A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入拋物線y=ax²+bx+c中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解得

a=-1 b=2 c=3

，
∴拋物線的解析式：y=-x²+2x+3．
（2）連接BC，直線BC與直線l的交點(diǎn)為P；
根據(jù)拋物線的對稱性，PA+PC=PB+PC，當(dāng)P在直線BC上時(shí)△PAC的周長PA+PC+AC最小，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B（3，0），C（0，3）代入上式，得：

3k+b=0 b=3

，解得：

k=-1 b=3

∴直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=-x+3；當(dāng)x=1時(shí)，y=2，
即P的坐標(biāo)（1，2）．
（3）拋物線的解析式為：x=-

b

2a

=1，
設(shè)M（1，m），已知A（-1，0）、C（0，3），則：
MA²=m²+4，MC²=m²-6m+10，AC²=10；
①若MA=MC，則MA²=MC²，得：m²+4=m²-6m+10，得：m=1；
②若MA=AC，則MA²=AC²，得：m²+4=10，得：m=±

6

；
③若MC=AC，則MC²=AC²，得：m²-6m+10=10，得：m=0，m=6；當(dāng)m=6時(shí)，M、A、C三點(diǎn)共線，構(gòu)不成三角形，不合題意，故舍去；
綜上可知，符合條件的M點(diǎn)，且坐標(biāo)為 M（1，

6

），（1，-

6

），（1，1），（1，0）．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)解析式的求法，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想．