Question

某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上。在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里／小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛，假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里／小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時(shí)與輪船相遇。
 （I）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？
 （Ⅱ）為保證小艇在30分鐘內(nèi)（含30分鐘）能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值；
 （Ⅲ）是否存在v，使得小艇以v海里／小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（I）設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為S海里 則             故當(dāng)時(shí)， 即小艇以30海里/小時(shí)的速度航行，相遇時(shí)小艇的航行距離最��；
（Ⅱ）設(shè)小艇與輪船在B處相遇 由題意可得：（vt）2=202+（30t）2-2·20·30t·cos（90°-30°） 化簡(jiǎn)得 由于，即 所以當(dāng)時(shí)，v取得最小值 即小艇航行速度的最小值為海里/小時(shí)；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知 設(shè) 于是400u2-600u+900-v2=0。（*） 小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于方程（*）應(yīng)有兩個(gè)不等正跟 即 解得 所以v的取值范圍是。