Question

設函數(shù)f（x）=

1

2

mx2-2x+ln（x+1）（m∈R）．
（Ⅰ）判斷x=1能否為函數(shù)f（x）的極值點，并說明理由；
（Ⅱ）若存在m∈[-4，-1），使得定義在[1，t]上的函數(shù)g（x）=f（x）-ln（x+1）+x³在x=1處取得最大值，求實數(shù)t的最大值．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）由f′（1）=0，求得m的值，將m的值代入f（x）解析式中，求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，看f（x）在x=1的兩側的單調性是否相反，如果相反則x=1是函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）由題意知，g（x）-g（1）≤0在[1，t]上恒成立，構造函數(shù)h(x)=x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1，根據(jù)m的范圍求出t的取值范圍，得出t的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）定義域為（-1，+∞），f′(x)=mx-2+

1

x+1

，令f'（1）=0，得m=

3

2

；
當m=

3

2

時，f′(x)=

(3x+2)(x-1)

2(x+1)

，當x∈(-1，-

2

3

)和（1，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈(-

2

3

，1)時f′（x）＜0，
于是f（x）在(-1，-

2

3

)單調遞增，在(-

2

3

，1)單調遞減，在（1，+∞）單調遞增．
故當m=

3

2

時，x=1是f（x）的極小值點；
（Ⅱ）g(x)=f(x)-ln(x+1)+x3=x3+

1

2

mx2-2x．
由題意，當x∈[1，t]時，g（x）≤g（1）恒成立，
易得g(x)-g(1)=(x-1)[x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1]≤0，令h(x)=x2+(1+

1

2

m)x+

1

2

m-1，
∵h（x）必然在端點處取得最大值，即h（t）≤0
即t2+(1+

1

2

m)t+

1

2

m-1≤0，即

-t2-t+1

t+1

≥2m，
∵m∈[-4，-1），∴

-t2-t+1

t+1

≥-2，解得，1＜t≤

1+ 13

2

，
所以t的最大值為

1+ 13

2

．

點評：本題考查了利用導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，極值，最值，構造函數(shù)，等價轉化思想，屬于中檔題．