Question

已知函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^x，x=1是它的一個極值點．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）當x≥3時，關(guān)于x的不等式f（x）≤e^2x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）首要的是求出函數(shù)的導數(shù)，利用已知函數(shù)在x=1處取得極值，可以建立參數(shù)a，b的關(guān)系，從而利用a表達出b，另外x=1是極值點可得a≠-4，因此要注意對a進行討論：a＜-4和a＞-4．
（II）對于這類含參數(shù)的不等式恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來求解，由f（x）≤e^2x，得：，因此構(gòu)造函數(shù)是很容易想到的，即：令g（x）=，然后求解即可．
解答：解：（I）f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=e^x[x²+（2+a）x+a+b]
由題意知f′（1）=0，即3+2a+b=0，b=-2a-3．
f（x）=e^x[x²+（2+a）x-a-3]=e^x（x-1）（x+a+3），
∵x=1是函數(shù)的一個極值點，∴-a-3≠1，a≠-4
當a＜-4時，由f′（x）＜0得1＜x＜-a-3
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，1），（-a-3，+∞），減區(qū)間為（1，-a-3），
當a＞-4時，由f′（x）＜0得-a-3＜x＜1
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-a-3），（1，+∞），減區(qū)間為（-a-3，1）．
（II）f（x）≤e^2x，得 x²+ax-2a-3≤e^x，（x-2）a≤e^x-x²+3，
得：
令g（x）=，則
令h（x）=e^x-x+1，則h′（x）=e^x-1．
當x≥3時，e^x-1＞0，即：h（x）≥h（3）=e³-2＞0，
∴g′（x）＞0，即x≥3時，g（x）為增函數(shù)，
∴
∴a≤e³-6，又a≠-4，
∴實數(shù)a的取值范圍是：（-∞，-4）∪（-4，e³-6]．
點評：本題考查了函數(shù)的導數(shù)及其應用，利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對函數(shù)的極值的研究，求解一類含參不等式的恒成立問題，是一道很好的綜合問題，本題涉及的思想方法有分類討論思想，轉(zhuǎn)會與化歸思想，構(gòu)造法等．