Question

（14分）一船由甲地逆水駛至乙地，甲、乙兩地相距 S （km）,水的流速為常量a（km/h）,船在靜水中的最大速度為b (km/h)  (b>2a)，已知船每小時的燃料費用(單位：元)與船在靜水中的速度 v（km/h） 的平方成正比，比例系數為 k ,問：

（1）船在靜水中的航行速度 v 為多少時，全程燃料費用最少？

（2）若水速 a = 8.4 km/h，船在靜水中的最大速度為b=25 km/h,要使全程燃料費用不超過40 k S元，求船在靜水中的航行速度v 的范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）船在靜水中速度 v = 2a (km/h)時，全程燃料費最少。

(2)當 12≤ v ≤ 25 時，全程燃料費不超過40kS元.

【解析】本試題主要是考查了函數在物理中的運用。

（1）根據已知中的條件可知設設全程燃料費用為 y，故全程所需時間為

，那么y = kv ^{2   ，}進而得到解析式，，分析定義域和不等式的思想得到最值。

（2）由以知得 ，得到得 ，解不等式得到范圍進而得到最值。

解：(1)設全程燃料費用為 y .    …… 1分

      ∵ 全程所需時間為

∴   y = kv ²                     ……2分

=     ……3分

        =      v∈( a , b ]    ……4分

∵  v ­­– a > 0  ∴  y≥ 4akS ,      …… 5分

當且僅當  ， 即 v = 2a 時取等號，……6分

∵  2a ∈ ( a, b ]  （ 7分）    ∴ 當  v = 2a時，全程燃料費最少. ……8分

  (2) 由以知得      ……10分

得     12 ≤ v ≤ 28 . 

∵v ≤ b  12≥a ∴   12 ≤ v ≤ 25       ……13分

答 （1）船在靜水中速度 v = 2a (km/h)時，全程燃料費最少。

(2)當 12≤ v ≤ 25 時，全程燃料費不超過40kS元.           ……14分