Question

已知x，y∈R．
（I）若x＞0，y＞0且

1

x

+

4

y

=1，求x+y的最小值；
（II）若f(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

，求不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集．

Answer 1

分析：（I）利用“1”的代換，結(jié)合基本不等式，即可求出x+y的最小值；
（II）確定f(x+2)=

1，x≥-2 -1，x＜-2

，再分類討論，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）因?yàn)?span id="yevtisl" class="MathJye">

1

x

+

4

y

=1，所以x+y=(x+y)(

1

x

+

4

y

)=5+

y

x

+

4x

y

又因?yàn)閤＞0，y＞0，所以

y

x

+

4x

y

≥2

y x • 4x y

=4
當(dāng)且僅當(dāng)

y

x

=

4x

y

，即y=2x，即x=3，y=6時(shí)，等號(hào)成立
所以當(dāng)x=3，y=6時(shí)，x+y取最小值9（5分）
（II）因?yàn)?span id="4pvc9oz" class="MathJye">f(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

，所以f(x+2)=

1，x≥-2 -1，x＜-2

當(dāng)x≥-2時(shí)，不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5轉(zhuǎn)化為x+（x+2）•1≤5解得-2≤x≤

3

2

當(dāng)x＜-2時(shí)，不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5轉(zhuǎn)化為x+（x+2）•（-1）≤5解得x＜-2
綜上不等式x+（x+2）•f（x+2）≤5的解集為{x|x≤

3

2

}（11分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的運(yùn)用，考查不等式的解法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．