Question

【題目】已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)·f(y)且f(1)＝.

(1)當(dāng)n∈N*時(shí)，求f(n)的表達(dá)式；

(2)設(shè)an＝n·f(n)，n∈N*，求證：a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)設(shè)bn＝(9－n) ，n∈N*，Sn為{bn}的前n項(xiàng)和，當(dāng)Sn最大時(shí)，求n的值．

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見(jiàn)解析；(3)當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，Sn取得最大值．

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合遞推關(guān)系可得：{f(n)}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則.

(2)由題意可得： ，錯(cuò)位相減有： ，則有a1＋a2＋a3＋…＋an<2；

(3)結(jié)合(1)的結(jié)論可得： ，則當(dāng)n＝9時(shí)，bn＝0；當(dāng)n>9時(shí)，bn<0.故當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，Sn取得最大值．

試題解析：

(1)解　令x＝n，y＝1，

得f(n＋1)＝f(n)·f(1)＝f(n)，

∴{f(n)}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

∴f(n)＝()n.

(2)證明　設(shè)Tn為{an}的前n項(xiàng)和，

∵an＝n·f(n)＝n·()n，

∴Tn＝＋2×()2＋3×()3＋…＋n×()n，

Tn＝()2＋2×()3＋3×()4＋…＋(n－1)×()n＋n×()n＋1，

兩式相減得Tn＝＋()2＋()3＋…＋()n－n×()n＋1，

＝1－()n－n×()n＋1，

∴Tn＝2－()n－1－n×()n<2.

(3)解　∵f(n)＝()n，

∴bn＝(9－n)

＝(9－n)＝.

∴當(dāng)n≤8時(shí)，bn>0；

當(dāng)n＝9時(shí)，bn＝0；

當(dāng)n>9時(shí)，bn<0.

∴當(dāng)n＝8或n＝9時(shí)，Sn取得最大值．