Question

已知M（2，1），N（-1，2），在下列方程的曲線上，存在點(diǎn)P滿足|MP|=|NP|的曲線是（ ）
A．3x-y+1=0
B．x²+y²-4x+3=0
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意，要滿足|MP|=|NP|，則P在線段MN的垂直平分線上，即求可以和線段MN的垂直平分線相交的曲線即可．先求得線段MN的垂直平分線方程，分別代入四個(gè)選項(xiàng)的方程，根據(jù)判別式判斷與曲線方程是否有交點(diǎn)．
解答：解：連接MN，設(shè)MN的方程為y=kx+b，傾斜角為α
代入M，N的坐標(biāo)，有
2k+b=1
-k+b=2
解得k=-，b=
即tanα==-
MN的方程為y=-+，x∈[-1，2]
設(shè)MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為Q（a，-+）
有|QM|²=|QN|²
（a-2）²+（-+-1）²=[a-（-1）]²+（-+-2）²
解得a=
得Q（，）
與MN垂直的直線斜率為
tan（+α）=
=-=3
設(shè)MN垂直平分線的方程為y=3x+c
代入Q（，），得
3×+c=
得c=0
MN垂直平分線的方程為y=3x
可知y=3x上的點(diǎn)到M的距離與到N的距離相等，則點(diǎn)P在y=3x上，同時(shí)又在A，B，C，D中的一個(gè)曲線上，即兩個(gè)圖象有交點(diǎn)
A.3x-y+1=0
即y=3x+1
3x+1=3x不成立，兩個(gè)圖象無交點(diǎn)
B．y=3x代入x²+y²-4x+3=0，得
10x²-4x+3=0
判別式△=（-4）²-4×10×3=-104＜0
兩個(gè)圖象無交點(diǎn)
C．y=3x代入，得
，解得x=±
3*（±2√19/19）═±6√19/19
得P（，）或（-，-）
D．y=3x代入，得
+1═0
判別式△=0²-4×（17/2）×1=-34＜0
兩個(gè)圖象無交點(diǎn)
只有C選項(xiàng)正確
故選C
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．直線與圓錐曲線有無公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問題，此時(shí)要注意用好分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法