Question

 已知等比數(shù)列的首項為，公比為（為正整數(shù)），且滿足是與的等差中項；數(shù)列滿足（）.

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）當(dāng)為等差數(shù)列時，對任意正整數(shù)，在與之間插入2共個，得到一個新數(shù)列．設(shè)是數(shù)列 的前項和，試求滿足的所有正整數(shù)的值。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 【解析】（1）因為,所以，解得（舍），則………………3分

又，所以  _{…………4分}

（2）由，得，

所以,

則由，得

而當(dāng)時，，由（常數(shù)）知此時數(shù)列為等差數(shù)列…8分

（3）因為，易知不合題意，適合題意………………9分

當(dāng)時，若后添入的數(shù)2 = c_{m + 1}，則一定不適合題意，從而c_{m + 1}必是數(shù)列中的某一項，則

 即．

也就是，

易證k=1，2，3，4不是該方程的解，而當(dāng)n≥5時，成立，證明如下：

    1°當(dāng)n = 5時，，左邊＞右邊成立；

    2°假設(shè)n = k時，成立，

當(dāng)n = k + 1時，

≥（k+1）²+（k+1）–1+5k–k–3=（k+1）²+（k+1）–1+k+3(k–1)

＞（k+1）²+（k+1）–1

    這就是說，當(dāng)n=k+1時，結(jié)論成立．

由1°，2°可知，時恒成立，故無正整數(shù)解．

綜上可知，滿足題意的正整數(shù)僅有m=2．…………13分