Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a₂=-13，a_n+2+a_n=2n-6．
（I）設(shè)b_n=a_n+1-a_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）當(dāng)n取何值時(shí)a_n取得最小值．

Answer 1

分析：（I）由b_n=a_n+1-a_n，a₁=1，a₂=-13，a_n+2+a_n=2n-6，可得b₁=a₂-a₁=-14，b_n+1-b_n=2n-6．再利用“累加求和”b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁即可得出．
（II）由b_n=（n-8）（n+1）得　a_n+1-a_n=（n-8）（n+1），對(duì)n與8的關(guān)系分類(lèi)討論即可．

解答：解：（I）∵b_n=a_n+1-a_n，a₁=1，a₂=-13，a_n+2+a_n=2n-6，
∴b₁=a₂-a₁=-14，
又∵a_n+2+a_n=2n-6，∴b_n+1-b_n=2n-6．
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=2[1+2+…+（n-2）+（n-1）]-6（n-1）-14
=2×

(n-1)(n-1+1)

2

-6(n-1)-14
=n²-7n-8．
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為bn=n2-7n-8．
（II）n=8時(shí)，有最小值；
由b_n=（n-8）（n+1）得　a_n+1-a_n=（n-8）（n+1），
∴當(dāng)n＜8時(shí)，a_n+1＜a_n．
當(dāng)n=8時(shí)，a₉=a₈．
當(dāng)n＞8時(shí)，a_n+1＞a_n．
∴當(dāng)n=8或n=9時(shí)，a_n的值最�。�

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、“累加求和”、分類(lèi)討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．