Question

設f（x）是定義在R上的偶函數，對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且當x∈[-2，0]時，f（x）=（）^x-1，若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，則a的取值范圍為（ ）
A．a＜或a＞2
B．＜a＜2
C．a＜2
D．a＞

Answer 1

【答案】分析：先利用已知f（x）是定義在R上的偶函數求出在區(qū)間[0，2]上的解析式，再利用周期性f（x）=f（x+4）求出函數f（x）在區(qū)間[2，4]上的解析式，然后在畫出圖象，進而求出a的取值范圍．
解答：解：設x∈[0，2]，則-x∈[-2，0]，∴f（-x）==2^x-1，
∵f（x）是定義在R上的偶函數，∴f（x）=f（-x）=2^x-1．
∵對任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），
∴當x∈[2，4]時，（x-4）∈[-2，0]，∴f（x）=f（x-4）=；
及當x∈[4，6]時，（x-4）∈[0，2]，∴f（x）=f（x-4）=2^x-4-1．
∵若在區(qū)間（-2，6]內關于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）恰有三個不同的實數根，
∴函數y=f（x）與函數y=log_a（x+2）在區(qū)間（-2，6]上恰有三個交點，
通過畫圖可知：恰有三個交點的條件是解得．
因此所求的a的取值范圍為．
故選B．
點評：本題綜合考查了函數的奇偶性、周期性、函數的交點及方程的根，熟練掌握函數的性質及數形結合是解決問題的關鍵．