Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，且在x軸上的頂點分別為A₁（-2，0），A₂（2，0）．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線l：x=t（t＞2）與x軸交于點T，P為l上異于T的任一點，直線PA₁、PA₂分別與橢圓交于M、N兩點，試問直線MN是否通過橢圓的焦點？并證明你的結論．

Answer 1

解：（1）由已知橢圓C的離心率，可得 ，
∴橢圓的方程為．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線A₁M斜率為k₁，則直線A₁M的方程為y=k₁（x+2），
由，解得，∴M點坐標為（，）．
同理，設直線A₂N的斜率為k₂則N點坐標為（，）．
由直線A₁M與直線A₂N的交點P（t，y_p）在直線l上，
又y_p=k₁（t+2），y_p=k₂（t-2），∴k₁（t+2）=k₂（t-2），∴．
又MN的方程為，令y=0，得 ．
即直線MN與x軸交點為，又t＞2，∴．
又橢圓右焦點為，故當 過橢圓的焦點．
分析：（1）由題意得，，從而求得b、c的值，從而求得橢圓的方程．
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），把直線方程代入橢圓的方程解出M點、N點坐標，由直線A₁M與直線A₂N的交點P（t，y_p）在直線l上，求出直線MN與x軸交點坐標，從而求得線MN是通過橢圓的焦點的條件．
點評：本題考查橢圓的標準方程，以及橢圓的簡單性質的應用．由于A₁、A₂兩點已知，故易求得直線與橢圓的交點M和N的坐標，這樣就易求出MN與x軸的交點，在計算過程中要注意計算的技巧．