Question

如圖，在三棱柱中，，頂點(diǎn)在底面上的射影恰為點(diǎn)，．

（1）證明：平面平面；

（2 ）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求出二面角的余弦值．

（1）證明：平面平面；

（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，求出二面角的余弦值．

 

Answer 1

（1）證明詳見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可得,而已知，由直線與平面垂直的判定定理可得面，根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可得平面平面；

(2) 過P做PP1//A1B1交A1C1的中點(diǎn)于P1,由（1）可知P1A1,連接P1B,則為二面角的平面角， 解可得cos的值.

試題解析：證明：（1）由題意得：面，

∴, 2分

又，

∴面， 3分

∵面， ∴平面平面； 5分

（2）解法1：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則

因?yàn)镻為棱的中點(diǎn)，故易求得． 6分

設(shè)平面的法向量為

則得

令，則 8分

而平面的法向量 9分

則 11分

由圖可知二面角為銳角，

故二面角的平面角的余弦值是 . 12分

解法2：過P做PP1//A1B1交A1C1的中點(diǎn)于P1,由（1）可知P1A1,連接P1B,則為二面角的平面角， 8分

在中，，，

故二面角的平面角的余弦值是 12分

考點(diǎn)：1.直線與平面垂直的性質(zhì)；2.平面與平面垂直的判斷和性質(zhì)；3.二面角.