如圖1,,
,過動(dòng)點(diǎn)A作
,垂足
在線段
上且異于點(diǎn)
,連接
,沿
將△
折起,使
(如圖2所示).
(1)當(dāng)的長(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐
的體積最大;
(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)
,
分別為棱
、
的中點(diǎn),試在棱
上確定一點(diǎn)
,使得
,并求
與平面
所成角的大小.
(1)時(shí), 三棱錐
的體積最大.(2)
【解析】
試題分析:(1)解法1:在如圖1所示的△中,設(shè)
,則
.
由,
知,△
為等腰直角三角形,所以
.
由折起前知,折起后(如圖2),
,
,且
,
所以平面
.又
,所以
.于是
,
當(dāng)且僅當(dāng),即
時(shí),等號(hào)成立
故當(dāng),即
時(shí), 三棱錐
的體積最大.
解法2:同解法1,得.
令,由
,且
,解得
.
當(dāng)時(shí),
;當(dāng)
時(shí),
.
所以當(dāng)時(shí),
取得最大值.
故當(dāng)時(shí), 三棱錐
的體積最大.
(2)解法1:以D為原點(diǎn),建立如圖a所示的空間直角坐標(biāo)系D-.
由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí),BD=1,AD=CD=2.
于是可得D(0,0,0,),B(1,0,0),C(0,2,0),A(0,0,2)M(0,1,1)E(,1,0),且BM=(-1,1,1).
設(shè)N(0,, 0),則EN=
,
-1,0).因?yàn)?i>EN⊥BM等價(jià)于EN·BM=0,即(
,
-1,0)·(-1,1,1)=
+
-1=0,故
=
,N(0,
,0)
所以當(dāng)DN=時(shí)(即N是CD的靠近點(diǎn)D的一個(gè)四等分點(diǎn))時(shí),EN⊥BM.
設(shè)平面BMN的一個(gè)法向量為n=(,
,
),由
可取
=(1,2,-1)
設(shè)與平面
所成角的大小為
,則由
,
,可得
,即
.
故與平面
所成角的大小為
解法2:由(Ⅰ)知,當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),
,
.
如圖b,取的中點(diǎn)
,連結(jié)
,
,
,則
∥
.
由(Ⅰ)知平面
,所以
平面
.
如圖c,延長(zhǎng)至P點(diǎn)使得
,連
,
,則四邊形
為正方形,
所以. 取
的中點(diǎn)
,連結(jié)
,又
為
的中點(diǎn),則
∥
,
所以. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051911331536267747/SYS201305191134314563386158_DA.files/image056.png">平面
,又
面
,所以
.
又,所以
面
. 又
面
,所以
.
因?yàn)?img
src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013051911331536267747/SYS201305191134314563386158_DA.files/image074.png">當(dāng)且僅當(dāng),而點(diǎn)F是唯一的,所以點(diǎn)
是唯一的.
即當(dāng)(即
是
的靠近點(diǎn)
的一個(gè)四等分點(diǎn)),
.
連接,
,由計(jì)算得
,
所以△與△
是兩個(gè)共底邊的全等的等腰三角形,
如圖d所示,取的中點(diǎn)
,連接
,
,
則平面
.在平面
中,過點(diǎn)
作
于
,
則平面
.故
是
與平面
所成的角.
在△中,易得
,所以△
是正三角形,
故,即
與平面
所成角的大小為
考點(diǎn):用空間向量求直線與平面的夾角;棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了線面垂直的判定,折疊問題中的不變量,空間線面角的計(jì)算方法,空間向量、空間直角坐標(biāo)系的運(yùn)用,有一定的運(yùn)算量,屬中檔題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年全國普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(湖北卷解析版) 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖1,,
,過動(dòng)點(diǎn)A作
,垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B,連接AB,沿
將△
折起,使
(如圖2所示).
(Ⅰ)當(dāng)的長(zhǎng)為多少時(shí),三棱錐
的體積最大;
(Ⅱ)當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí),設(shè)點(diǎn)
,
分別為棱
,
的中點(diǎn),試在棱
上確定一點(diǎn)
,使得
,并求
與平面
所成角的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年湖北省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
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