Question

如圖1，，，過動點A作，垂足在線段上且異于點，連接，沿將△折起，使（如圖2所示）．

（1）當的長為多少時，三棱錐的體積最大；

（2）當三棱錐的體積最大時，設點，分別為棱、的中點，試在棱上確定一點，使得，并求與平面所成角的大小．

 

Answer 1

【答案】

（1）時, 三棱錐的體積最大．（2）

【解析】

試題分析：（1）解法1：在如圖1所示的△中，設，則．

由，知，△為等腰直角三角形，所以.

由折起前知，折起后（如圖2），，，且，

所以平面．又，所以．于是

    

，

當且僅當，即時，等號成立   

故當，即時, 三棱錐的體積最大．   

解法2：同解法1，得．  

令，由，且，解得．

當時，；當時，．

所以當時，取得最大值．

故當時, 三棱錐的體積最大.

（2）解法1：以D為原點，建立如圖a所示的空間直角坐標系D-.

由（Ⅰ）知，當三棱錐A-BCD的體積最大時，BD＝1,AD＝CD＝2.

于是可得D（0,0,0,），B（1,0,0），C（0,2,0），A（0,0,2）M（0,1,1）E（，1,0），且BM＝（-1，1,1）.    

設N（0,, 0），則EN＝,-1,0).因為EN⊥BM等價于EN·BM＝0,即（，-1,0）·（-1,1,1）＝+-1＝0，故＝，N（0, ，0） 

所以當DN＝時（即N是CD的靠近點D的一個四等分點）時，EN⊥BM.

設平面BMN的一個法向量為n=(,,),由可取＝(1,2,-1） 

設與平面所成角的大小為，則由，，可得

，即．   

故與平面所成角的大小為     

解法2：由（Ⅰ）知，當三棱錐的體積最大時，，．

如圖b，取的中點，連結，，，則∥.

由（Ⅰ）知平面，所以平面.

如圖c，延長至P點使得，連，，則四邊形為正方形，

所以. 取的中點，連結，又為的中點，則∥，

所以. 因為平面，又面，所以.

又，所以面. 又面，所以.

因為當且僅當，而點F是唯一的，所以點是唯一的.

即當（即是的靠近點的一個四等分點），．      

連接，，由計算得，

所以△與△是兩個共底邊的全等的等腰三角形，

如圖d所示，取的中點，連接，，

則平面．在平面中，過點作于，

則平面．故是與平面所成的角．

在△中，易得，所以△是正三角形，

故，即與平面所成角的大小為 

考點：用空間向量求直線與平面的夾角；棱柱、棱錐、棱臺的體積．

點評：本題主要考查了線面垂直的判定，折疊問題中的不變量，空間線面角的計算方法，空間向量、空間直角坐標系的運用，有一定的運算量，屬中檔題