Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)f (x)＝（2－a）（x－1）－2lnx，（a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

（1）當(dāng)a＝1時(shí)，求f (x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)f (x)在（0，）上無(wú)零點(diǎn)，求a的最小值

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為；

     （Ⅱ）若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）當(dāng)時(shí)，

由由借助于導(dǎo)數(shù)可知    

故的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為 

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415313142452408/SYS201208241532097297850865_DA.files/image011.png">在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，

只要對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立．

運(yùn)用轉(zhuǎn)換與化歸思想得到證明。

解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

由由                  

故的單調(diào)減區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間為         ------------------6分

     （Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415313142452408/SYS201208241532097297850865_DA.files/image011.png">在上恒成立不可能，故要使函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，

只要對(duì)任意的恒成立，即對(duì)恒成立．

令則

再令

在上為減函數(shù)，于是

從而，，于是在上為增函數(shù)

故要使恒成立，只要

綜上，若函數(shù)在上無(wú)零點(diǎn)，則的最小值為-----------8分