Question

（2013•豐臺區(qū)一模）已知函數(shù)f(x)=

1

x+a

，g（x）=bx²+3x．
（1）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），且h（1）=h′（1）=0求a，b的值；
（2）當(dāng)a=2且b=4時，求函數(shù)φ(x)=

g(x)

f(x)

的單調(diào)區(qū)間，并求該函數(shù)在區(qū)間（-2，m]（-2＜m≤

1

4

）上的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的導(dǎo)數(shù)，再利用h（1）=h′（1）=0建立關(guān)于a，b的方程組，即可求出a，b的值；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，令導(dǎo)數(shù)φ′（x）＞0（或＜0），解不等式即可求出其單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間，從而求出其最大值．

解答：解：（1）函數(shù)h（x）定義域為{x|x≠-a}，…（1分）
則h′(x)=f′(x)-g′(x)=-

1

(x+a)2

-2bx-3，…（3分）
因為

h(1)=0 h′(1)=0.

所以

1 1+a -b-3=0 - 1 (1+a)2 -2b-3=0.

解得，

a=0 b=-2

或

a=- 4 3 b=-6.

…（6分）
（2）記φ（x）=

g(x)

f(x)

，則φ（x）=（x+a）（bx²+3x）（x≠-a），
∵因為a=2，b=4，所以φ（x）=（x+2）（4x²+3x）（x≠-2），…（7分）
φ'（x）=12x²+22x+6=2（2x+3）（3x+1），
令φ'（x）=0，得x=-

3

2

，或x=-

1

3

，…（8分）
當(dāng)x＜-

3

2

，或x＞-

1

3

時，φ'（x）＞0，
當(dāng)-

3

2

＜x＜-

1

3

時，φ'（x）＜0，
∴函數(shù)φ（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞，-2)，(-2，-

3

2

)，(-

1

3

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-

3

2

，-

1

3

)，…（10分）
①當(dāng)-2＜m＜-

3

2

時，φ（x）在（-2，m）上單調(diào)遞增，
∴其最大值為φ（m）=4m³+11m²+6m，…（12分）
②當(dāng)-

3

2

≤m≤

1

4

時，φ（x）在（-2，-

3

2

）上單調(diào)遞增，在（-

3

2

，-

1

3

）上單調(diào)遞減，在（-

1

3

，m）上單調(diào)遞增，而φ（-

3

2

）=φ（

1

4

）=

9

4

，
∴φ（x）的最大值為

9

4

．…（14分）

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，增加了題目的難度，考查運算能力和逆向思維能力，屬中檔題．