Question

已知函數(shù)f(x)=x³+mx²+nx-2的圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g(x)=f′(x)+6x是偶函數(shù).

(Ⅰ)求m、n的值；(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內(nèi)的極值.

 

Answer 1

【答案】

解：(Ⅰ)由函數(shù)f(x)圖象過(guò)點(diǎn)（-1，-6）,得m-n=-3,①………………1分

由f(x)=x³+mx²+nx-2，得f′(x)=3x²+2mx+n,………………………………………2分

則g(x)=f′(x)+6x=3x²+(6+2m)x+n;

而g(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以-=0，所以m=-3,

代入①得n=0.………………………………………………………………………4分

（Ⅱ）由(Ⅰ)得f′(x)=3x(x-2),

令f′(x)=0得x=0或x=2.…………………………………………………………5分

當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

由此可得:

當(dāng)0＜a＜1時(shí),f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極大值f(0)=-2,無(wú)極小值;

當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無(wú)極值;

當(dāng)1＜a＜3時(shí),f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)有極小值f(2)=-6,無(wú)極大值;

當(dāng)a≥3時(shí),f(x)在(a-1,a+1)內(nèi)無(wú)極值.…………………………………………11分

綜上得：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f(x)有極大值-2，無(wú)極小值，當(dāng)1＜a＜3時(shí)，有極小值-6，無(wú)極大值，當(dāng)a=1或a≥3時(shí)，f(x)無(wú)極值.…………………………………………12分

【解析】略