Question

如圖，A，B是橢圓C：

x2

4

+y²=1的左、右頂點(diǎn)，M是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線BM與直線l：x=4分別交于C，D兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若|CD|=4，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）記△MAB和△MCD的面積分別為S₁和S₂．是否存在實(shí)數(shù)λ，使得S₁=λS₂？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）分別求出C，D的坐標(biāo)，利用|CD|=4，求出直線AM的斜率，進(jìn)而可求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求出△MAB和△MCD的面積，假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得S₁=λS₂，則λ=

S1

S2

，利用基本不等式，即可求出λ的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)直線AM的方程為y=k（x+2）（k＞0）．
由

x=4 y=k(x+2)

得C（4，6k）；
y=k（x+2）代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，
設(shè)M（x₀，y₀），則（-2）x₀=

16k2-4

1+4k2

，
∴x₀=

2-8k2

1+4k2

，
∴y₀=

4k

1+4k2

，
即M（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
∵B（2，0），
∴直線BM的方程為y=-

1

4k

（x-2），
x=4時(shí)，y=-

1

2k

，∴D（4，-

1

2k

）
∴|CD|=|6k+

1

2k

|=4
∵k＞0，∴k=

1

2

或

1

6

，
從而M（0，1）或M（

8

5

，

3

5

）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得（

2-8k2

1+4k2

，

4k

1+4k2

），
∴S₁=

1

2

|AB||y_M|=

8k

1+4k2

，S₂=

1

2

|CD||4-x_M|=

(1+12k2)2

2k(1+4k2)

，
假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得S₁=λS₂，則
λ=

S1

S2

=

16k2

1+24k2+144k4

=

16

144k2+ 1 k2 +24

≤

1

3

，
當(dāng)且僅當(dāng)144k²=

1

k2

，即k=

3

6

時(shí)，等號(hào)成立，
∵λ＞0，
∴0＜λ≤

1

3

，
∴存在實(shí)數(shù)λ滿足0＜λ≤

1

3

，使得S₁=λS₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，有難度．