Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面邊長(zhǎng)是2，D是側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，直線AD與側(cè)面BB₁C₁C所成的角為45°．
（1）求此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)；
（2）求二面角A-BD-C的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）取BC中點(diǎn)E，連AE，ED，由正三棱柱的幾何特征及面面垂直的性質(zhì)，可得AE⊥側(cè)面B₁C₁CB，則直線AD與側(cè)面B₁C₁CB所成的角為∠ADE，解Rt△AED可得此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)
（2）過(guò)E作EF⊥BD于F，連AF，可得∠AFE為二面角A-BD-C的平面角，解Rt△BEF和Rt△AEF可得二面角A-BD-C的平面角的正切值．

解答：解：（1）設(shè)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱長(zhǎng)為x．取BC中點(diǎn)E，連AE．
∵△ABC是正三角形，
∴AE⊥BC．
又底面ABC⊥側(cè)面B₁C₁CB，且交線為BC．
∴AE⊥側(cè)面B₁C₁CB，
連ED，則直線AD與側(cè)面B₁C₁CB所成的角為∠ADE=45°．
在Rt△AED中，tan45°=

AE

ED

=

3

1+ x2 4

，
解得x=2

2

． 
∴此正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為2

2

．
（2）過(guò)E作EF⊥BD于F，連AF，
∵AE⊥側(cè)面B₁C₁CB
∴AF⊥BD
∴∠AFE為二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△BEF中，EF=BEsin∠EBF，又
BE=1，sin∠EBF=

CD

BC

=

2

22+ 2 3

=

3

3

∴EF=

3

3

．
又AE=

3

∴在Rt△AEF中，
tan∠AFE=

AE

EF

=3
即二面角A-BD-C的平面角的正切值為3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正三棱柱的幾何特征，二面角的平面角及求法，其中找出已知的線面夾角的平面角及未知的二面角的平面角是解答的關(guān)鍵．