Question

在△ABC中已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a_n+S_n=4，
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
（2）對(duì)于任意正整數(shù)k，都使

Sk+1-2k+1

Sk-4

＞m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）再寫一式，兩式相減得a_n+1=

1

2

a_n，即可證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
（2）求出S_n，可得

Sk+1-2k+1

Sk-4

=

1

2

+

2k-1-1

2-k

≤

1

2

，即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： （1）證明：由題意，a_n+S_n=4，a_n+1+S_n+1=4，兩式相減得a_n+1=

1

2

a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁+S₁=2a₁=4，得a₁=2．
∴數(shù)列{a_n}是以首項(xiàng)a₁=2，公比為

1

2

的等比數(shù)列．
（2）解：由（1）知S_n=4[1-(

1

2

)n]
∴

Sk+1-2k+1

Sk-4

=

1

2

+

2k-1-1

2-k

≤

1

2

，
∵對(duì)于任意正整數(shù)k，都使

Sk+1-2k+1

Sk-4

＞m成立，
∴m＜

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．