Question

已知點(diǎn)M（4，0）、N（1，0），若動(dòng)點(diǎn)P滿足

MN

 • 

MP

=6|

NP

|．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C；
（2）在曲線C上是否存在點(diǎn)Q，使得△MNQ的面積S△MNQ=

3

2

？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，利用

MN

 • 

MP

=6|

NP

|，可得軌跡方程，從而可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C；
（2）利用面積求得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，代入橢圓方程，即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x，y），又點(diǎn)M（4，0）、N（1，0），
∴

MP

=( x-4 ， y )，

MN

=( -3 ， 0 )，

NP

=( x-1 ， y )．  …（3分）
由

MN

 • 

MP

=6|

NP

|，得-3( x-4 )=6

( 1-x )2+( -y )2

，…（4分）
∴（x²-8x+16）=4（x²-2x+1）+4y²，故3x²+4y²=12，即

x2

4

+

y2

3

=1．
∴軌跡C是焦點(diǎn)為（±1，0）、長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=4的橢圓；            …（7分）
（2）設(shè)曲線C上存在點(diǎn)Q（x₀，y₀）滿足題意，則S△MNQ=

3

2

．    …（9分）
∴

1

2

|MN|•|y0| =

3

2

，
又|MN|=3，故|y₀|=1．           …（11分）
∵

x02

4

+

y02

3

=1，∴x02=4( 1-

y02

3

)=4( 1-

1

3

)=

8

3

．        …（12分）
∴x0=±

8 3

=±

2 6

3

．                                  …（13分）
∴曲線C上存在點(diǎn)Q( ±

2 6

3

 ， ±1 )使得△MNQ的面積S△MNQ=

3

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查軌跡方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．