Question

設(shè)集X是實數(shù)集R上的子集，如果x₀∈R滿足：對?a＞0，都?x∈X，使得0＜|x-x₀|＜a，那么稱x₀為集合X的聚點，用Z表示整數(shù)集，則給出下列集合：
①{|n∈Z，n≥0}；②{x|x∈R，x≠0}；③{|n∈Z，n≠0}；④整數(shù)集Z
其中以0為聚點的集合的序號有________（寫出所有正確集合的序號）

Answer 1

②③
分析：由已知中關(guān)于集合聚點的定義，我們逐一分析四個集合中元素的性質(zhì)，并判斷是否滿足集合聚點的定義，進而得到答案．
解答：①中，集合{|n∈Z，n≥0}中的元素是極限為1的數(shù)列，
除了第一項0之外，其余的都至少比0大，
∴在a＜的時候，不存在滿足得0＜|x|＜a的x，
∴0不是集合{|n∈Z，n≥0}的聚點
②集合{x|x∈R，x≠0}，對任意的a，都存在x=（實際上任意比a小得數(shù)都可以），使得0＜|x|=＜a
∴0是集合{x|x∈R，x≠0}的聚點
③集合{|n∈Z，n≠0}中的元素是極限為0的數(shù)列，
對于任意的a＞0，存在n＞，使0＜|x|=＜a
∴0是集合{|n∈Z，n≠0}的聚點
④對于某個a＜1，比如a=0.5，此時對任意的x∈Z，都有|x-0|=0或者|x-0|≥1，也就是說不可能0＜|x-0|＜0.5，從而0不是整數(shù)集Z的聚點
故答案為：②③．
點評：本題考查的知識點是集合元素的性質(zhì)，其中正確理解新定義--集合的聚點的含義，是解答本題的關(guān)鍵．