Question

某項考試按科目A、科目B依次進行，只有當科目A成績合格時，才可繼續(xù)參加科目B的考試．已知每個科目只允許有一次補考機會，兩個科目成績均合格方可獲得證書．現某人參加這項考試，科目A每次考試成績合格的概率均為

2

3

，科目B每次考試成績合格的概率均為

1

2

．假設各次考試成績合格與否均不影響．
（1）求他不需要補考就可獲得證書的概率；
（2）在這項考試過程中，假設他不放棄所有的考試機會，記他參加考試的次數為ξ，求ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）利用相互獨立事件概率乘法公式能求出他不需要補考就可獲得證書的概率．
（2）由題意知ξ=2，3，4，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列和數學期望Eξ．

解答： 解：（1）設“科目A第一次考試合格”為事件A₁，“科目A補考合格”為事件A₂，
“科目B第一次考試合格”為事件B₁，“科目B補考合格”為事件B₂，
∴他不需要補考就可獲得證書的概率為：
P（A₁B₁）=P（A₁）P（B₁）=

2

3

×

1

2

=

1

3

．
（2）由題意知ξ=2，3，4，
P（ξ=2）=

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

=

4

9

，
P（ξ=3）=

2

3

×

1

2

×

1

2

+

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

=

4

9

，
P（ξ=4）=

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

1

9

，
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	4 9	4 9	1 9

Eξ=2×

4

9

+3×

4

9

+4×

1

9

=

8

3

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型．