Question

已知函數(shù)f（x）=|2^|x|-2|，x∈R．
①判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并證明你的結(jié)論；
②作出函數(shù)y=f（x）的圖象，并完成下列填空．
已知關(guān)于x的方程f（x）=k，則當(dāng)k∈

{0}∪（1，+∞）

時(shí)，方程有2個(gè)根；當(dāng)k=

1

時(shí)，方程有3個(gè)根；當(dāng)k

∈（0，1）

時(shí)，方程有4個(gè)根．

Answer 1

分析：①由題意，本題要先判斷出函數(shù)的奇偶性，再利用定義證明，直接驗(yàn)證f（-x）與f（x）的關(guān)系即可；
②先作出如圖的圖象，由圖易得出方程f（x）=k的根的個(gè)數(shù)與k的取值范圍的關(guān)系．

解答：解：①函數(shù)的解析式知此函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，證明如下：
因?yàn)閒（-x）=|2^|-x|-2|=|2^|x|-2|=f（x）故函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)；
②函數(shù)的圖象如右圖
由圖象知，當(dāng)k＞1時(shí)，方程有二個(gè)根；
當(dāng)k=0或1時(shí)，方程有三個(gè)根；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，方程有四個(gè)根
故答案為＞1； 0或1；∈（0，1）

點(diǎn)評：本題研究函數(shù)奇偶性的判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，本題第二小題作出準(zhǔn)確的圖象很關(guān)鍵，要注意把一些關(guān)鍵點(diǎn)做準(zhǔn)確，本題考查了判斷證明的能力及作圖能力，是函數(shù)考查的基礎(chǔ)題