Question

已知函數(shù)．
（1）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若在區(qū)間上，f（x）＞0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f′（x）=ax²-3x（a＞0，x∈R）
（1）當(dāng)a=1時，f′（x）=x²-3x，
∴
∴切線方程為，即
（2）g（x）=f'（x）+alnx=ax²-3x+alnx（a＞0，x∈R）
∵函數(shù)g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立
即在x∈[2，+∞）上恒成立
設(shè)，則
∵x≥2，∴h′（x）＜0
∴函數(shù)h（x）在x∈[2，+∞）上單調(diào)減
∴
∴實數(shù)a的取值范圍為；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=＞0
∵，f（）=，f（）=，f（）=1-，f（0）=1
①，即a＞6時，函數(shù)在（，0），上單調(diào)增，上單調(diào)減
∴要使在區(qū)間上，f（x）＞0恒成立，只需，∴6＜a＜15；
②當(dāng)時，即0＜a≤6，函數(shù)在（，0）上單調(diào)增，上單調(diào)減
∴要使在區(qū)間上，f（x）＞0恒成立，只需，∴0＜a≤6；
綜上①②可知，0＜a＜15．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，確定切線的斜率，結(jié)合切點的坐標(biāo)，可得切線方程；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)g（x）=f'（x）+alnx在x∈[2，+∞）上單調(diào)遞增，可得g′（x）≥0在x∈[2，+∞）上恒成立，分離參數(shù)，利用求最值，即可確定實數(shù)a的取值范圍；
（3）令f'（x）=0可得x=0或x=＞0，根據(jù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，建立不等式組，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查恒成立問題，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確求導(dǎo)，恰當(dāng)分類是關(guān)鍵．