Question

某產(chǎn)品在不做廣告宣傳且每千克獲利a元的前提下，可賣出b千克．若做廣告宣傳，廣告費為n（n∈N^*）千元時比廣告費為（n-1）千元時多賣出千克．
（Ⅰ）當(dāng)廣告費分別為1千元和2千元時，用b表示銷售量s；
（Ⅱ）試寫出銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）當(dāng)a=50，b=200時，要使廠家獲利最大，銷售量s和廣告費n分別應(yīng)為多少？

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用廣告費為n（n∈N^*）千元時比廣告費為（n-1）千元時多賣出千克，可求當(dāng)廣告費分別為1千元和2千元時的銷售量s；
（Ⅱ）利用疊加法，可求銷售量s與n的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅲ）設(shè)獲利為T_n，則要使廠家獲利最大，，由此可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）當(dāng)廣告費為1千元時，銷售量s₁=b+=
當(dāng)廣告費為2千元時，銷售量s₂=b++=；
（Ⅱ）設(shè)s表示廣告費為0千元時的銷售量，即s=b
由題意得s₁-s=，s₂-s₁=，…，s_n-s_n-1=
以上n個等式相加得s_n-s=
∴s_n=2b-；
（Ⅲ）當(dāng)a=50，b=200時，設(shè)獲利為T_n，則有T_n=as_n-1000n=10000（2-）-1000n
要使廠家獲利最大，則
∴10000（2-）-1000n≥10000（2-）-1000（n+1），且10000（2-）-1000n≥10000（2-）-1000（n-1）
∴2＜n＜4，∴n=3
當(dāng)n=3時，s₃=375，即廠家應(yīng)生產(chǎn)350千克產(chǎn)品，做3千元的廣告，能獲利最大．
點評：本題主要考查了數(shù)列的疊加法求解通項公式，利用數(shù)列的單調(diào)性求解數(shù)列的最大（�。╉棧�考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．