已知雙曲線C:x2-y2=1,l:y=kx+1
(1)求直線L的斜率的取值范圍,使L與C分別有一個交點,兩個交點,沒有交點.
(2)若Q(1,1),試判斷以Q為中點的弦是否存在,若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.
(1)聯(lián)立方程組
y=kx+1
x2-y2=1
,
消去y得,(1-k2)x2-2kx-2=0.
當1-k2=0,即k=±1時,x=±1;
當1-k2≠0,k≠±1時,△=(-2k)2+4-2(1-k2)=8-4k2
由△>0,即8-4k2>0,得-
2
<k<
2

由△=0,即8-4k2=0,得k=±
2

由△<0,即8-4k2<0,得k<-
2
或k
2

綜上知:k∈(-
2,
-1)∪(-1,1)∪
(1,
2
)
時,直線l與曲線C有兩個交點.
k=±
2
時,直線l與曲線C切于一點,k=±1時,直線l與曲線C交于一點.
k<-
2
或k
2
直線l與曲線C沒有公共點.
(2)不存在.
假設(shè)以Q點為中點的弦存在,
當過Q點的直線的斜率不存在時,顯然不滿足題意.
當過Q點的直線的斜率存在時,設(shè)斜率為k.
聯(lián)立方程
x12-y12=1
x22-y22=1
兩式相減得:(x1-x2)(x1+x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0.
所以過點Q的直線的斜率為k=1,
所以直線的方程為y=x,即為雙曲線的漸近線
與雙曲線沒有公共點.
即所求的直線不存在.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

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(本題滿分15分)
已知曲線C上的動點滿足到點的距離比到直線的距離小1.
求曲線C的方程;過點F的直線l與曲線C交于A、B兩點.(。┻^A、B兩點分別作拋物線的切線,設(shè)其交點為M,證明;(ⅱ)是否在y軸上存在定點Q,使得無論AB怎樣運動,都有?證明你的結(jié)論.

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x2
4
+
y2
3
=1
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若AB為拋物線y2=2px(p>0)的動弦,且|AB|=a(a>2p),則AB的中點M到y(tǒng)軸的最近距離是( 。
A.
a
2
B.
p
2
C.
a+p
2
D.
a-p
2

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已知拋物線C:y2=4x,過點A(x0,0)(其中x0為常數(shù),且x0>0)作直線l交拋物線于P,Q(點P在第一象限);
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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

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17
4

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已知橢圓C的中心為坐標原點,離心率為
2
2
,直線?與橢圓C相切于M點,F(xiàn)1、F2為橢圓的左右焦點,且|MF1|+|MF2|=2
2

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(2)若直線m過F1點,且與橢圓相交于A、B兩點,|AF2|+|BF2|=
8
2
3
,求直線m的方程.

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科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

如圖,已知點P(a,b),A(x1,y1),B(x2,y2)均在拋物線y2=2px(p>0)上,PA,PB與x軸分別交于C,D兩點,且PC=PD,則y1+y2的值為…( 。
A.-2aB.2bC.2pD.-2b

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