Question

若點(diǎn)P，Q在拋物線y²=4x上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0．則直線PQ恒過的頂點(diǎn)的坐標(biāo)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)出A，B的坐標(biāo)，討論直線斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用消元法得到關(guān)于x的一元二次方程，由

OP

•

OQ

=0．得x₁x₂+y₁y₂=0，建立關(guān)于參數(shù)k，b的關(guān)系，消去b可得直線恒過（4，0）．

解答： 解：設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
當(dāng)直線l存在斜率時(shí)，設(shè)直線方程為y=kx+b，顯然k≠0且b≠0．
聯(lián)立方程得：

y=kx+b y2=4x

，消去y得k²x²+（2kb-4）x+b²=0
則x₁x₂=

b2

k2

，
由y₁²=4x₁，y₂²=4x₂，
則y₁y₂=4•

b

k

，
又

OP

•

OQ

=0，則x₁x₂+y₁y₂=0，
即

b2

k2

+

4b

k

=0，
解得b=0（舍去）或b=-4k，
故直線l的方程為：y=kx-k=k（x-4），故直線過定點(diǎn)（4，0），
故答案為：（4，0）．

點(diǎn)評：本題考查向量垂直的條件，同時(shí)考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及證明直線恒過定點(diǎn)，屬于中檔題．