Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，垂足為A．如果△APF是邊長(zhǎng)為4的正三角形，則此拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

 

，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x_P=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由已知條件推導(dǎo)出p=2，且P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_P=2

3

，由此能求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

解答： 解：∵拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，
P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，垂足為A．
根據(jù)拋物線的定義P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=|PF|，又PF=PA，
所以|PA|就是P點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即PA垂直于l，
∵△APF是邊長(zhǎng)為4的正三角形，
∴F到準(zhǔn)線l的距離為2，即p=2，A到x軸的距離為2

3

，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），
則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)y_P=2

3

，
∴（2

3

）²=2•2•x_P，
解得x_P=3．
故答案為：（1，0），3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)的求法，考查點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用．