Question

已知圓C:,直線L：.

（1）求證：對直線L與圓C總有兩個不同交點；

（2）設L與圓C交于不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；

（3）若定點P（1,1）分弦AB所得向量滿足，求此時直線L的方程.

 

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）直線方程為或.

【解析】

試題分析：（1）由直線L的方程可知，直線L恒過定點（1，1），而這個點在圓內(nèi)，所以直線L與圓C總有兩個不同的交點；（2）設M（x,y）.當M不與P重合時，連接CM、CP，由于P是AB的中點，所以CMMP，用勾股定理便可得所求方程（或用向量的數(shù)量積等于0也可）.（3）設A（），B（）由可得.將直線與圓的方程聯(lián)立得.由韋達定理得，再將此與聯(lián)立得，代入方程得，從而得直線的方程.

試題解析：（1）直線恒過定點（1，1），且這個點在圓內(nèi)，故直線L與圓C總有兩個不同的交點.

（2）當M不與P重合時，連接CM、CP，則CMMP，設M（x,y）

則

化簡得：

當M與P重合時，滿足上式.

（3）設A（），B（）由得.

將直線與圓的方程聯(lián)立得： ..（*）

可得，代入（*）得

直線方程為或.

考點：直線與圓.