Question

（本小題滿分14分）

已知棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在對角線A₁C₁上，記二面角P-AB-C為α，二面角P-BC-A為β。

(1) 當A₁P：PC₁=1：3時，求cos（α+β）的大小。

（2）點P是線段A₁C₁(包括端點)上的一個動點，問：當點P在什么位置時，α+β有最小值？

 

Answer 1

【答案】

（1）- （2）P為A₁C₁的中點

【解析】

試題分析： 

作PO⊥面ABCD于O，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F

∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁

∴點O在線段AC上，且AO：OC=1:3

∴α=∠PEO，β=∠PFO       

EO=，FO=，PO=1，PE=，PF=        2分

cosα=，sinα=，cosβ=， sinβ=

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ==-   4分

（2）（8分）

設A₁P=kA₁C₁，k∈[0,1]                                5分

由第（1）題可知α=∠PEO，β=∠PFO

EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF=  

cosα=，sinα=，cosβ=，

sinβ=                   7分

當k=0或1時，即點P與A₁或C₁重合時，其中一個角為，另一個角為，

此時α+β=，tan（α+β）= -1                                        8分

∴當k≠0，且k≠1時，tanα=，tanβ=zxxk

∴tan（α+β）

=       11分

∵k∈（0,1）    ∴      ∴tan（α+β）∈  

∵          ∴

∴tan（α+β）=時，α+β有最小值，此時k=時，即點P為A₁C₁的中點。  14分

考點：二面角的求法

點評：本題有一定難度，多章節(jié)知識的綜合