Question

（本小題滿(mǎn)分14分）

已知棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P在對(duì)角線(xiàn)A₁C₁上，記二面角P-AB-C為α，二面角P-BC-A為β。

(1) 當(dāng)A₁P：PC₁=1：3時(shí)，求cos（α+β）的大小。

（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段A₁C₁(包括端點(diǎn))上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)P在什么位置時(shí)，α+β有最小值？

 

Answer 1

【答案】

（1）- （2）P為A₁C₁的中點(diǎn)

【解析】

試題分析： 

作PO⊥面ABCD于O，作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F

∵正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁

∴點(diǎn)O在線(xiàn)段AC上，且AO：OC=1:3

∴α=∠PEO，β=∠PFO       

EO=，F(xiàn)O=，PO=1，PE=，PF=        2分

cosα=，sinα=，cosβ=， sinβ=

cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ==-   4分

（2）（8分）

設(shè)A₁P=kA₁C₁，k∈[0,1]                                5分

由第（1）題可知α=∠PEO，β=∠PFO

EO=k,FO=1-k,PO=1,PE=,PF=  

cosα=，sinα=，cosβ=，

sinβ=                   7分

當(dāng)k=0或1時(shí)，即點(diǎn)P與A₁或C₁重合時(shí)，其中一個(gè)角為，另一個(gè)角為，

此時(shí)α+β=，tan（α+β）= -1                                        8分

∴當(dāng)k≠0，且k≠1時(shí)，tanα=，tanβ=zxxk

∴tan（α+β）

=       11分

∵k∈（0,1）    ∴      ∴tan（α+β）∈  

∵          ∴

∴tan（α+β）=時(shí)，α+β有最小值，此時(shí)k=時(shí)，即點(diǎn)P為A₁C₁的中點(diǎn)。  14分

考點(diǎn)：二面角的求法

點(diǎn)評(píng)：本題有一定難度，多章節(jié)知識(shí)的綜合