Question

已知曲線C₁：y=ax²+b和曲線C₂：y=2blnx（a，b∈R）均與直線l：y=2x相切．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）設直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于點M，N，P，記f（t）=|MP|-|NP|，求f（t）在區(qū)間（0，e]（e為自然對數(shù)的底）上的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及導數(shù)的幾何含義可以先設出兩個切點的坐標，利用條件建立a，b方程解出即可；
（2）由題意直線x=t（t＞0）與曲線C₁，C₂及直線l分別相交于點M，N，P，可以聯(lián)立直線方程與曲線方程及直線方程，求出M，N，P的坐標，利用兩點間的距離公式得到
（t）=|MP|-|NP|的函數(shù)表達式，在有定義域求出值域即可．
解答：解：（1）設曲線C₁，C₂與直線l相切的切點分別是（t₁，at₁²+b），（t₂，2blnt₂），
則，
對函數(shù)分別求導可得，y^'=2at，
則⇒，
所以切線方程分別為：，y-2blnb=2（x-b），即為y=2x
所以
∴
（2）由（1）可得線C₁：y=x²+e和曲線C₂：y=2elnx，L；y=2x
由題意可以得到：，，
∴M（t，），N（t，2elnt），P（t，2t），
所以f（t）=|MP|-|NP|=，≥0在t∈（0，e]恒成立
所以函數(shù)f（t）在定義域上位單調(diào)遞增函數(shù)，所以（f（t）_max=f（e）=0．
點評：此題考查了導數(shù)的幾何含義及利用方程的思想求解未知的變量的知，還考查了聯(lián)立方程解交點，及利用導函數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性并利用單調(diào)性求出函數(shù)的最大值．