Question

已知函數y=f（x）的圖象與函數y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關于直線y=x對稱，記g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]．若y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、[2，+∞）
• B、（0，1）∪（1，2）
• C、[

  1

  2

  ，1)
• D、(0，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：先表述出函數f（x）的解析式然后代入將函數g（x）表述出來，然后對底數a進行討論即可得到答案．

解答：解：已知函數y=f（x）的圖象與函數y=a^x（a＞0且a≠1）的圖象關于直線y=x對稱，
則f（x）=log_ax，記g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]=（log_ax）²+（log_a2-1）log_ax．
當a＞1時，
若y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數，y=log_ax為增函數，
令t=log_ax，t∈[loga

1

2

，log_a2]，要求對稱軸-

loga2-1

2

≤loga

1

2

，矛盾；
當0＜a＜1時，若y=g（x）在區(qū)間[

1

2

，2]上是增函數，y=log_ax為減函數，
令t=log_ax，t∈[log_a2，loga

1

2

]，要求對稱軸-

loga2-1

2

≥loga

1

2

，
解得a≤

1

2

，
所以實數a的取值范圍是(0，

1

2

]，
故選D．

點評：本題主要考查指數函數與對數函數互為反函數．這里注意指數函數和對數函數的增減性與底數的大小有關，即當底數大于1時單調遞增，當底數大于0小于1時單調遞減．