Question

3．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，-2≤x≤0}\\{ln\frac{1}{x+1}，0≤x≤2}\end{array}\right.$，若g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點，則實數(shù)a的取值范圍是$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 化簡|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，-2≤x≤0}\\{ln（x+1），0＜x≤2}\end{array}\right.$，從而化g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點為函數(shù)|f（x）|與函數(shù)y=ax+a的圖象有3個不同的交點；作函數(shù)的圖象，由數(shù)形結(jié)合求實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+2x，-2≤x≤0}\\{ln\frac{1}{x+1}，0≤x≤2}\end{array}\right.$，
∴|f（x）|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-2x，-2≤x≤0}\\{ln（x+1），0＜x≤2}\end{array}\right.$，
∵g（x）=|f（x）|-ax-a的圖象與x軸有3個不同的交點，
∴函數(shù)|f（x）|與函數(shù)y=ax+a的圖象有3個不同的交點；
作函數(shù)|f（x）|與函數(shù)y=ax+a的圖象如下，

圖中A（-1，0），B（2，ln3），
故此時直線AB的斜率k=$\frac{ln3-0}{2+1}$=$\frac{ln3}{3}$；
當直線AB與f（x）=ln（x+1）相切時，設(shè)切點為（x，ln（x+1））；
則$\frac{ln（x+1）-0}{x-（-1）}$=$\frac{1}{x+1}$，
解得，x=e-1；
此時直線AB的斜率k=$\frac{1}{e}$；
結(jié)合圖象可知，
$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$；
故答案為：$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的零點與函數(shù)的圖象的關(guān)系，同時考查了函數(shù)的化簡與導數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．