Question

【題目】設數列{an}的前n項和為Sn ， a1=1，且nan+1=（n+2）Sn ， n∈N* ．
（1）求證：數列 為等比數列；
（2）求數列{Sn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵nan+1=（n+2）Sn，n∈N*．∴n（Sn+1﹣Sn）=（n+2）Sn，∴ =2× ，

∴數列 為等比數列，首項為1，公比為2，

（2）解：由（1）可得： =2n﹣1，∴Sn=n2n﹣1．

∴數列{Sn}的前n項和Tn=1+2×2+3×2n+…+n2n﹣1．

∴2Tn=2+2×22+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n，

∴﹣Tn=1+2+22+…+2n﹣1﹣n2n= ﹣n2n，

∴Tn=（n﹣1）2n+1．

【解析】（1）nan+1=（n+2）Sn ， n∈N* ． 可得n（Sn+1﹣Sn）=（n+2）Sn ， 變形為 =2× ，即可證明．（2）由（1）可得： =2n﹣1 ， 可得Sn=n2n﹣1 ． 利用“錯位相減法”、等比數列的求和公式即可得出．
【考點精析】認真審題，首先需要了解等比數列的通項公式（及其變式）(通項公式：)，還要掌握數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)的相關知識才是答題的關鍵．