Question

（08年華師一附中二次壓軸理）已知函數，

(Ⅰ)求此函數的單調區(qū)間及最值；

(Ⅱ)求證：對于任意正整數n，均有；

       (Ⅲ)當a=1時，過點(1，是否存在函數y=f(x)的圖象的切線？若存在，有多少條？若不存在，說明理由

Answer 1

解析：(Ⅰ)∵f(x)=lnax－=lnax－1+，∴f′(x)= －= 

(1)當a＞0時，定義域={x|x＞0}，當x∈(0，1)時，f′(x)＜0，當x∈(1，+∞)時，f′(x)＞0，

∴f(x)在(0，1)上是單調減函數，在(1,+∞)上是單調增函數，

進而[f(x)]_min=f(1)=lna

(2)當a＜0時，定義域{x|x＜0}，∴在定義域內恒有f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)上是單調減函數，無最值.  

(Ⅱ)取a=1，由(Ⅰ)知f(x)=lnx－的最小值為0，∴l(xiāng)nx－≥0，∴≥1－lnx，∴1+++…+≥n－(ln1+ln2+…+lnn)=n－lnn!=ln 

(3)設切線存在，且切點為T(x₀，lnx₀－)，∴切線方程為y+1=(－)(x－1)

∵切點為T(x₀，lnx₀－)，∴l(xiāng)nx₀－+1=(－)( x₀－1)

∴l(xiāng)nx₀+－－1=0                                             ①

設h(x)=lnx+－－1，∴h′(x)=－+=，∵x＞0，∴h(x)在(0，1)，(2，+∞)內遞增，在(1，2)內遞減.

∴[h(x)]_極大值=h(1)=1＞0，[h(x)]_極小值=h(2)=ln2+＞0

又h(x)=－∞，h(x)=+∞

∴方程①有且只有一個解，故有且只有一條