Question

【題目】已知函數(shù)，（為常數(shù)，且）.

（1）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)與的圖象有且只要一個(gè)交點(diǎn)，試確定自然數(shù)的值，使得（參考數(shù)值，，，）；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）6；（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）記，求得，分和討論，即可得到函數(shù)的單調(diào)性和最小值，函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，得，進(jìn)而可求解的取值范圍，確定的值．

（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，只要證明：時(shí)，，

記，求得 ，

記，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可作出證明．

詳解：（1）記 ，則，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，函數(shù)單調(diào)遞增，，

函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象無(wú)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，且時(shí)，，

時(shí)，，

所以，，函數(shù)與的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，得，

化簡(jiǎn)得：，

記，，所以在上單調(diào)遞減，

又， ，

所以，即.

（2）由（1）得：當(dāng)時(shí)，，只要證明：

時(shí)，即，

記，

則 ，

記，

圖象為開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱(chēng)軸為，

且，所以當(dāng)時(shí)，，即，

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，從而，

即成立，所以成立.