Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+sinxcosx（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若f（

x0

2

）=

3

4

，x₀∈（

π

4

，

π

2

），求sinx₀的值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由倍角公式和兩角和的正弦函數(shù)公式化簡解析式可得f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，從而由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）由已知可解得sinx₀+cosx₀=

1

2

，由x₀∈（

π

4

，

π

2

），可得sinx₀+

1-sin2x0

=

1

2

，從而可解得x₀的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=cos²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

．
∴由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

可解得：kπ+

π

8

≤x≤kπ+

5π

8

，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]，k∈Z．
（2）∵f（

x0

2

）=

2

2

sin（2×

x0

2

+

π

4

）+

1

2

=

2

2

sin（x₀+

π

4

）+

1

2

=

3

4

，
∴可解得：sin（x₀+

π

4

）=

2

4

，即有sinx₀+cosx₀=

1

2

，
∵x₀∈（

π

4

，

π

2

），
∴sinx₀+

1-sin2x0

=

1

2

，整理可得：2sin²x₀-sinx₀-

3

4

=0．
∴x₀=

1+ 7

4

或者

1- 7

4

（舍去）．

點評：本題主要考查了倍角公式和兩角和的正弦函數(shù)公式的應用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識的考查．